Versuchsdurchführung

Vorbereitung (vor Praktikumsbeginn)

Sie sollen nicht nur diese Anleitung lesen, sondern auch selbst einige Berechnungen durchführen (Formelsammlung in Anhang A). Dies ist wichtig, um die Ergebnisse dieses Versuches zu verstehen.

1. Berechnen Sie (Fehlerrechnung ist nicht verlangt)
   • $\sin^2\Theta_{W}$, die schwache Axial- und Vektorkopplung bei der $Z^0$-Masse
   • die Zerfallsbreiten der verschiedenen Fermionenpaare
   • die hadronische Breite
   • die geladene leptonische Breite
   • die neutrale leptonische Breite (unsichtbare Breite)
   • die Gesamtbreite
   • den gesamten hadronischen Wirkungsquerschnitt am Resonanzmaximum
   • die Wirkungsquerschnitte am Resonanzmaximum
2. Vergleichen Sie die berechneten mit den in Tabelle 5.1 gegebenen Werten.
   

   Tabelle: Partialbreiten für die verschiedenen Fermionpaare

   Kanal	Partialbreite
   $\Gamma_e=\Gamma_{\mu}=\Gamma_{\tau}=\Gamma_{\ell}$	83.8 MeV
   $\Gamma_{\nu_e}=\Gamma_{\nu_\mu}=\Gamma_{\nu_\tau}=\Gamma_{\nu}$	166 MeV
   $2\cdot\Gamma_{uc}+3\cdot\Gamma_{dsb}=\Gamma_{had}$	1740 MeV

   
   
3. Wiederholen Sie die oben genannten Berechnungen unter der Annahme, dass es 4 (2) leichte Neutrinogenerationen gibt (in Anhang E.1 wird der Fall “leichtes top-Quark” diskutiert).
4. Beschäftigen Sie sich insbesondere für die Messung der Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie der Myonen und für die Trennung von s- und t-Kanal mit der Thematik der Winkelverteilung und Zeichnen Sie die zu erwartende Form der Prozesse $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ und $e^+e^-\to e^+e^-$.

Zusätzlich für Master-Studenten :

1. Berechnen Sie die Asymmetrie am Peak für myonische Endzustände.

Ereignisklassifikation mit GROPE

Lassen Sie sich vom Assistenten in die Benutzung von GROPE (Graphic Reconstruction of OPal Events) einweisen. Machen Sie sich klar, welche Anzeigen welche Detektordaten darstellen, wie diese Daten entstehen und wo mögliche Fehlerquellen liegen. Es stehen Ihnen sechs Datensätze (siehe Tabelle 5.2) zur Verfügung,

Tabelle: Überblick über die GROPE-Datensätze

Art	vorselektierte Daten					Daten
Name	Elektron	Myon	Tau	Hadron	Cosmic	Test

von denen vier auf bestimmte Zerfallskanäle (Elektron, Myon, Tau, Hadron) vorselektiert sind, der fünfte enthält nur den Untergrundkanal kosmische Myonen (Cosmic) und der sechste enthält alle (auch Untergrund-) Ereignisse.

Schauen Sie sich zuerst die vorselektierten Datensätze der einzelnen Fermionen an und achten Sie auf charakteristische Größen. Achten Sie besonders auf die Größen, die Sie im N-Tupel (ROOT) zu Verfügung haben und versuchen Sie, ihre Bedeutung zu verstehen (insbesondere Acolinearität, Thrust und Thrustwinkel).

Schauen Sie sich dann die kosmischen Myonen an (verwenden Sie die Zoom-Funktion). Versuchen Sie Bedeutung der Größen D0mean und Z0mean zu verstehen. Vergleichen Sie die Myon-Ereignisse aus $Z^0$-Zerfällen mit kosmischen Myonen.

Wählen Sie nun einen der Test-Datensätze aus und versuchen Sie, die Ereignisse zu klassifizieren. Denken Sie dabei nicht nur an die $e^+ e^- \rightarrow f\bar {f}$-Reaktionen, sondern auch an diverse Untergrundereignisse. Versuchen Sie Kriterien (möglichst mit Größen aus dem N-Tupel) zu finden, aufgrund derer Sie Ihre Entscheidungen treffen. Wenn Sie diese vorläufigen Schnitte gefunden haben, sind Sie reif für den nächsten Teil.

Statistische Auswertung mit JupyterLab

Für die statistische Auswertung der Daten werden Sie nun auf das Programm JuptyerLab zurückgreifen. Dieses verwendet sogenannte Notebook's, wobei es sich um hybride Dateien handelt welche zum Teil aus Programmiercode, geschrieben in Python, und aus Textabschnitten besteht.

In einem Notebook können Sie bequem die einzelnen Code-Blöcke in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft ausführen indem Sie auf einen 'Block' klicken und diesen 'Shift+Enter' ausführen (Siehe Abb. 5.1).

Die Auswertung der Daten wird auf 4 (für Master-Studenten 5) Notebooks aufgeteilt.

Abbildung 5.1: Notebook in JupyterLab

In der modernen wissenschaftlichen Arbeit auf dem Gebiet der Elementarteilchenphysik werden Sie wahrscheinlich um das Programmieren nicht herumkommen, deshalb wollen wir Ihnen in diesem Praktikum einige der wichtigsten Python-Pakete vorstellen.

Aber in diesem Praktikum geht es nicht um die Programmierung in Python. Sie müssen also nicht versuchen, jeden Code, der in den Notebooks verwendet wird, zu verstehen. In den Abschnitten vor dem jeweiligen Code wird immer der für Sie relevante Teil erklärt und es werden Ihnen die für Sie relevanten Befehle vorgestellt, mehr müssen Sie nicht verstehen.

Verweden Sie also nicht zu viel Zeit dafür die Codes alle komplett nachvollziehen zu können.

Schnittoptimierung

Machen Sie sich am Anfang des ersten Notebooks 01_cut_optimization.ipynb mit der Bedienung von JupyterLab und den verwendeten Python Paketen vertraut.

Sie werden danach Schritt für Schritt an die Visualisierung einer oder mehrerer Observablen der Kollisionsereignisse herangeführt, dabei verwenden Sie Datensätze sowohl aus echten Kollisionen bei LEP als auch aus mittels der Monte-Carlo-Methode simulierten Kollisionen. Hierfür stehen Ihnen die Funktionen overlay() und overlay_many() zu Verfügung. Mit diesen können Sie die 4 Monte-Carlo Samples (Elektronen, Myonen, Tauonen, Hadronen) in einem gemeinsamen Plot darstellen und verschiedene Optionen zur genauen Darstellung auswählen.

Danach gilt es sogenannte Cuts zu definieren um die verschiedenen Ereignissarten voneinander trennen zu können.

Wie viele Ereignisse verlieren Sie durch Anwendung der Selektion (Effizienz) und wie viele Ereignisse aus den anderen MC-N-Tupeln wählen Sie fälschlicherweise aus (Untergrund)?

Auf welche Probleme treffen Sie bei den Elektronen? Welcher Untergrund ist besonders unangenehm? (Beachten Sie die Partialbreiten und Bhabha-Streuung.)

Versuchen Sie ihre Schnitte weiter zu verfeinern, indem Sie sich die Verteilungen aller Größen aller MC-N-Tupel ansehen.

Es empfiehlt sich dabei, iterativ vorzugehen, d.h. Sie wenden z.B. Ihre Elektron-Selektion an, schneiden aber nicht auf z.B. E_ecal und überprüfen dann, wo dieser Schnitt zu erfolgen hat. Dann wenden Sie sich der nächsten Größe zu und verfahren wieder genauso.

Vergleichen Sie anschließend Ihre Cuts für die MC-N-Tupel für jede Ereignissart mit einem entsprechenden Plot der Opal-Daten (es empfiehlt sich der Datensatz ecm4, da dieser mit einer Schwerpunktsenergie nahe der $Z^0$-Masse aufgenommen worden ist) und versuchen Sie, dass nur der Untergrund von den jeweils anderen Zerfallskanälen, nicht aber der Untergrund von 2-Photon-Ereignissen oder kosmischen Myonen erfasst wird.

Wenn Sie einen guten Kompromiss zwischen Effizienz und Reinheit gefunden haben, erhalten Sie am Ende die Effizienzmatrix, welche die Effizienzen $\varepsilon$ und die Untergrundfaktoren $\varepsilon_{BG}$ für alle MC-N-Tupel enthält.

S-Kanal Beitrag für die Elektronen

Bevor Sie die Wirkungsquerschnitte bestimmen können müssen Sie sich in dem zweiten Notebook 02_s_channel.ipynb zuerst noch einmal den Elektronen zuwenden. Da hier der s- und t-Kanal beitragen müssen Sie den t-Kanal Beitrag korrigieren, denn nur der s-Kanal liefert einen Beitrag zur Z0-Breite (siehe Bhabha-Streuung).

Dafür wird die theoretische Vorhersage der Beiträge des t-Kanals sowie der s/t Intereferenz verwendet und zusammen mit einer Parabel für den s-Kanal an die gemessene $\cos \theta$ Verrteilung angepasst. Dazu dient die Funktion tfit_and_plot(), welche Ihnen am Ende die korrigierten Ereignisszahlen der Elektronen für die 7 Schwerpunktmassen liefert.

Weitere Untergründe werden Sie für die Elektronen nicht korrigieren, da dies im Rahmen des Praktikums zu zeitaufwendig wäre. Sie sollten jedoch darauf achten, dass der Untergrund in ihrer Elektronen-Selektion möglichst klein ($<0.3\%$) ist.

Wirkungsquerschnitte

In dem dritten Notebook 03_cross_section.ipynb wenden Sie Ihre Selektionen (Cuts) nun auf die OPAL-Daten an und bestimmen so die Anzahl der selektierten Ereignisse $N_{sel}$.Diese muss natürlich noch auf Effizienz und Untergrund korrigiert werden.

$$N_{BG} = \sum \sigma_{BG}\cdot \int L dt \cdot\varepsilon_{BG}$$ (5.1)

$$\approx \frac{N_{sel}}{\varepsilon}\cdot\sum\mbox{SF}\cdot\varepsilon_{BG}$$ (5.2)

Dabei läuft die Summe über alle drei Untergrundkanäle und SF ist der Skalierungsfaktor, der wegen der unterschiedlichen Partialbreiten zu beachten ist (siehe Anhang E.2). Die wahre Anzahl N ergibt sich dann als

  $$N = \frac{N_{sel}-N_{BG}}{\varepsilon}=\frac{N_{sel}}{\varepsilon... ...1-\frac{\sum\mbox{Skalierungsfaktor}\cdot\varepsilon_{BG}}{\varepsilon}\right)$$ (5.3)

Berechnen Sie die hadronischen und leptonischen Wirkungsquerschnitte (mit Hilfe der in Tabelle A angegebenen integrierten Luminositäten) und deren Unsicherheiten bei den verschiedenen Energien.

Zu den Unsicherheiten tragen sowohl statische als auch systematische Effekte bei. Überlegen Sie, wodurch systematische Fehler entstanden sein könnten!

$Z^0$-Resonanz Fit

In dem vierten Notebook 04_Z0_fit.ipynb können Sie mit der Ihnen zur Verfügung gestellten Funktion fit_and_plot_breit_wigner() eine Breit-Wigner-Kurve an die Messwerte der einzelnen Ereignissarten einzeln fitten und die Parameter ablesen. Die Funktion berücksichtigt dabei auch weitere Effekte wie z.B. die qed-Korrektur.

Berechnen Sie aus den gemessenen Peak-Wirkungsquerschnitten die Partialbreiten der jeweiligen Kanäle und vergleichen Sie alle Ergebnisse mit den in der Vorbereitung berechneten Werten und den Angaben im Particle Data Book.

Mit der Funktion combined_breit_wigner_fit() können Sie abschließend einen kombinierten Fit für die Leptonen und einen Fit für die Hadronen einer Breit-Wigner-Kurve erstellen und so die Paramter ablesen.

Aus den erhaltenen Fit Parametern können Sie in der abschliessenden Auswertung die Partial-Breiten der einzelnen Zerfallskanäle berechnen sowie am Ende die Anzahl der leichten Neutrinogenerationen bestimmen.

$\mu$ Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie

Zusätzlich für Master-Studenten.

In dem fünften Notebook 05_afb.ipynb widmen Sie sich der Bestimmung der Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie. Da diese Messung empfindlich von der Statistik abhängt, stehen Ihnen in diesem Teil des Versuches neben den sieben schon verwendeten Datenfiles drei weitere mit einer höheren Ereignisanzahl zur Verfügung.

Zuerst sollen Sie für jedes der zehn Daten-N-Tupel die Asymmetrie bestimmen. Hierfür steht Ihnen die Funktion afbfit_and_plot() zur Verfügung.

Achtung! Wie schon bei der Trennung von t-und s-Kanal bei den Elektronen wird auch hier keine Untergrundkorrektur gemacht. Achten Sie deshalb darauf, dass Sie möglichst keinen Elektronen-Untergrund haben (Taus sind wegen der identischen Winkelverteilung nicht so schlimm)!

An die erhaltenen Werte können Sie dann mit der Funktion afb_fit() den theoretischen Verlauf der Asymmetrie fitten. Im betrachteten Energiebereich ist dieser annähernd linear. Die Funktion berücksichtigt dabei auch die QED-Strahlungskorrekturen, insbesondere den “radiative return”.

Als Ergebnis bekommen Sie im Graphik-Fenster die Asymmetrie am Peak und den Slope (gibt die Größe des hauptsächlich off-peak auftretenden Beitrages der $\gamma-Z^0$-Interferenz an, ist aber für die Asymmetrie am Peak und damit für den Weinbergwinkel unbedeutend).

Berechnen Sie den Weinbergwinkel nach (2.22) und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem in der Vorbereitung berechneten Wert.