Formelsammlung

Um Ihnen das Umherblättern in der Anleitung zu ersparen, sind im folgenden alle benötigten Formeln, sowie die gegebenen Zahlenwerte zusammengestellt. Die folgenden brauchen Sie für die Vorbereitung:

$Z^0$-Masse	$M_Z$	=  91.187 GeV
Fermikonstante	$G_F$	= $1.166\cdot10^{-5} \mbox{GeV}^{-2}$
elektromagnetische Kopplungskonstante bei einer Energie von 91.2 GeV	$\alpha(M_Z)$	=   $$\frac{1}{128.87}$$
Weinbergwinkel nach (1.9)	$\sin^2\theta_W$	=   $$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\pi\cdot\alpha(M_Z^2)} {\sqrt{2}\cdot G_F\cdot M_Z^2}}$$
Dritte Komponente des schwachen Isospins	$I_3^f$	=   $\frac{1}{2} \mbox{ f\uml {u}r } f=\nu,u,c$ =   $-\frac{1}{2} \mbox{ f\uml {u}r } f=e^-,\mu^-,\tau^-,d,s,b$
elektrische Ladung	$Q_f$	=   $0\mbox{ f\uml {u}r } f=\nu$ =   $-1\mbox{ f\uml {u}r } f=e^-,\mu^-,\tau^-$ =   $\frac{2}{3}\mbox{ f\uml {u}r } f=u,c$ =   $-\frac{1}{3}\mbox{ f\uml {u}r } f=d,s,b$
schwache Vektorkopplung nach (2.3)	$g_{V}^{f}$	=   $I_{3}^{f} - 2 Q_{f} \sin^2 \theta_{W}$
schwache Axialvektorkopplung nach (2.4)	$g_{A}^{f}$	=  $I_{3}^{f}$
starke Kopplungskonstante bei einer Energie von 92.1 GeV	$\alpha_S(M_Z)$	=  0.12

QCD-Korrekturterm	$\delta_{QCD}$	=   $1.05\cdot\frac{\alpha_S(M_Z)}{\pi}$
Anzahl der Quarkfarben und Anwendung der QCD-Korrektur nach (2.23)	$N_c^f$	=   $1 \mbox{ f\uml {u}r }f=\nu,e,\mu,\tau$ =   $3\cdot(1+\delta_{QCD})\mbox{ f\uml {u}r }f=u,d,s,c,b$
Partialbreite nach (2.9)	$\Gamma_{f}$	=   $$\frac{N_{c}^{f} \cdot \sqrt{2}}{12\pi}\cdot G_F \cdot M_{Z}^{3}\cdot(g_{V}^{f2}+g_{A}^{f2})$$
Peakwirkungsquerschnitt nach (2.10)	$\sigma^{peak}_f$	=   $$\frac{12\pi}{M^2_Z} \cdot \frac{\Gamma_e}{\Gamma_Z}\cdot \frac{\Gamma_f}{\Gamma_Z}$$
Umrechnungsfaktor	$1\,\mbox{GeV}^{-2}$	=   $3.893\cdot 10^5\,\mbox{nb}$

Nun folgen die Formeln, die sie für die statistische Auswertung der OPAL-Daten benötigen:

Statistischer Fehler	$\Delta N_{sel}$	=   $\sqrt{N_{sel}}$
Faktor zur Untergrundskalierung nach (5.1) und Anhang E.2	SF	=   $$\frac{\sigma_{Untergrund}} {\sigma_{Signal}}$$
Korrigierte Ereignisanzahl	N	=   $$\frac{N_{sel}}{\varepsilon}\cdot\left(1-\frac{\sum\mbox{SF}\cdot \varepsilon_{BG}}{\varepsilon}\right)$$
Wirkungsquerschnitt nach (2.1)	$$\sigma$$	$=~~\frac{N}{\int Ldt}$
Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie	$A^{\mu,peak}_{FB}$	$\simeq~ 3\cdot(g_V^{\ell} / g_A^{\ell})^2$ $\simeq~3\cdot(1-4 sin^2 \theta_{W})^2$

Tabelle: Integrierte Luminositäten bei den verschiedenen Energien und Skalierungsfaktoren für den Elektronuntergrund (bei einem Schnitt auf $\vert Cos\_thru\vert<0.9$)

$E_{CMS}$(GeV)	88.39	89.38	90.23	91.24	92.06	93.08	93.91
$\int Ldt~(nb^-1)$	1303.1	1394.2	1265.2	7901.2	1321.2	1356.1	1493.2
$\frac{\sigma_{t+s-Kanal}}{\sigma_{s-Kanal}}$(ca. Werte)	6	5	4	3	3	3.5	4