Unterabschnitte

Konstanten, Einheiten und Kinematik

Konstanten

$c$ = $2.99792458 \cdot 10^8 m/s$ Lichtgeschwindigkeit
$e$ = $1.60217649 \cdot 10^{-19} C $ Elementarladung
$\hbar$ = $h/2\pi = 6.582119 \cdot 10^{-22} MeV \cdot s$ Planck'sches Wirkungsquantum / 2$\pi$
$\hbar c$ = $1.973 \cdot 10^{-11} MeV \cdot cm$ =  $0.1973 GeV \cdot fm$
$\alpha $ = $e^2 / 4\pi \varepsilon_0 \hbar c = 1/137.035999$ Feinstrukturkonstante
$m_e$ = $0.510999 MeV/c^2$ Elektronmasse
$m_p$ = $938.27201 \cdot MeV/c^2$ Protonmasse
$\varepsilon_0$ = $8.8541878 \cdot 10^{-12} As/Vm$ Elektrische Feldkonstante
$G_F$ = $1.16637 \cdot 10^{-5} GeV^{-2}$ Fermi-Kopplungskonstante

Einheiten

Länge: 1 Fermi = 1 fm = $10^{-15}m$
Wirkungsquerschnitt: 1 barn = 1 b = $10^{-24}cm^{2}$

In der Teilchenphysik wählt man Einheiten, in denen $\hbar$ = c = 1 gesetzt werden. Für explizite Rechnungen müssen jedoch die richtigen Werte für $\hbar$ und $c$ eingesetzt werden.

Größe Dimension $\hbar=c=1$ Umrechnung
Masse $\frac{\rm {GeV}}{c^2}$ GeV 1kg = $5.61\cdot10^{26}\mbox{GeV}$
Länge $\frac{{\hbar}{c}}{\rm {GeV}}$ $\mbox{GeV}^{-1}$ 1m = $5.07\cdot10^{15}\mbox{GeV}^{-1}$
Zeit $\frac{\hbar}{\rm {GeV}}$ $\mbox{GeV}^{-1}$ 1s = $1.52\cdot10^{24}\mbox{GeV}^{-1}$
Stromstärke $\frac{\sqrt{c}\rm {GeV}}{\sqrt{\hbar}}$ GeV 1A = $1.24\cdot10^{-6}\mbox{GeV}$
           
Wirkungsquerschnitt $\frac{{\hbar}^2c^2}{\rm {GeV}^2}$ $\mbox{GeV}^{-2}$ 1b = $2.57\cdot10^3\mbox{GeV}^{-2}$


Mandelstam-Variablen

Häufig werden zur Beschreibung der Kinematik relativistische Impuls-Energie Vierervektoren, $p = (\vec{p},E)$, benutzt. Das innere Produkt von Vierervektoren ist invariant gegenüber Lorentztransformationen :
\begin{displaymath}
r \cdot q = r' \cdot q'
\end{displaymath} (9.1)

Abbildung D.1: Definition der Mandelstam-Variablen s und t
Image mandel

Insbesondere gilt:

\begin{displaymath}
p^{2} = p \cdot p = E^{2} - \vec{p}^2c^2 = m_{0}^{2}c^{4}
\end{displaymath} (9.2)

oder mit c = 1

\begin{displaymath}
p^2 = E^{2} - \vec{p}^2 = m_{0}^{2}
\end{displaymath} (9.3)

(Abb. D.1) Für einen Zweiteilchenprozess $a+b \rightarrow c+d$, z.B.

\begin{displaymath}
e^+ (p_a) + e^- (p_b) \rightarrow \bar{f}(q_c) + f(q_d)   ,
\end{displaymath}

lässt sich die Kinematik im Anfangs- und Endzustand mit relativistischen Vierervektoren wie folgt beschreiben.

Die Gesamtschwerpunktsenergie berechnet sich aus

\begin{displaymath}
s = (p_a + p_b)^{2} = (q_c + q_d)^{2}   .
\end{displaymath}

Dies ist im Schwerpunktsystem leicht zu zeigen, da hier ${\bf p_a} = {\bf -p_b}$ ist. Man erhält mit $E_{b}$ = Strahlenenergie:

\begin{displaymath}
s = (p_a + p_b)^{2} = 4E_{b}^{2} = E_{CMS}^{2}   .
\end{displaymath}

Außer der Energie benötigt man zur Beschreibung der Kinematik den Streuwinkel $\Theta_{CMS}$ im Schwerpunktsystem, wobei $\Theta_{CMS}$ der Winkel zwischen $p_{a}$ und $q_{c}$ ist.

Dieser kann berechnet werden aus:

\begin{displaymath}
t = (q_c - p_a)^{2} = -2E_{b}^{2}(1-\cos\Theta_{CMS})<0   .
\end{displaymath}

s und t nennt man Mandelstam-Variable.

GDuckeck 2015-10-15