Konstanten, Einheiten und Kinematik

Konstanten

$c$	=	$2.99792458 \cdot 10^8~m/s$	Lichtgeschwindigkeit
$e$	=	$1.60217649 \cdot 10^{-19} C$	Elementarladung
$\hbar$	=	$h/2\pi = 6.582119 \cdot 10^{-22} MeV \cdot s$	Planck'sches Wirkungsquantum / 2$\pi$
$\hbar c$	=	$1.973 \cdot 10^{-11} MeV \cdot cm$ =	$0.1973~GeV \cdot fm$
$\alpha$	=	$e^2 / 4\pi \varepsilon_0 \hbar c = 1/137.035999$	Feinstrukturkonstante
$m_e$	=	$0.510999 MeV/c^2$	Elektronmasse
$m_p$	=	$938.27201 \cdot MeV/c^2$	Protonmasse
$\varepsilon_0$	=	$8.8541878 \cdot 10^{-12} As/Vm$	Elektrische Feldkonstante
$G_F$	=	$1.16637 \cdot 10^{-5} GeV^{-2}$	Fermi-Kopplungskonstante

Einheiten

Länge:	1 Fermi	= 1 fm	= $10^{-15}m$
Wirkungsquerschnitt:	1 barn	= 1 b	= $10^{-24}cm^{2}$

In der Teilchenphysik wählt man Einheiten, in denen $\hbar$ = c = 1 gesetzt werden. Für explizite Rechnungen müssen jedoch die richtigen Werte für $\hbar$ und $c$ eingesetzt werden.

Größe	Dimension	$\hbar=c=1$	Umrechnung
Masse	$\frac{\rm {GeV}}{c^2}$	GeV	1kg	=	$5.61\cdot10^{26}\mbox{GeV}$
Länge	$\frac{{\hbar}{c}}{\rm {GeV}}$	$\mbox{GeV}^{-1}$	1m	=	$5.07\cdot10^{15}\mbox{GeV}^{-1}$
Zeit	$\frac{\hbar}{\rm {GeV}}$	$\mbox{GeV}^{-1}$	1s	=	$1.52\cdot10^{24}\mbox{GeV}^{-1}$
Stromstärke	$\frac{\sqrt{c}\rm {GeV}}{\sqrt{\hbar}}$	GeV	1A	=	$1.24\cdot10^{-6}\mbox{GeV}$
Wirkungsquerschnitt	$\frac{{\hbar}^2c^2}{\rm {GeV}^2}$	$\mbox{GeV}^{-2}$	1b	=	$2.57\cdot10^3\mbox{GeV}^{-2}$

Mandelstam-Variablen

Häufig werden zur Beschreibung der Kinematik relativistische Impuls-Energie Vierervektoren, $p = (\vec{p},E)$, benutzt. Das innere Produkt von Vierervektoren ist invariant gegenüber Lorentztransformationen :

  $$r \cdot q = r' \cdot q'$$ (9.1)

Abbildung D.1: Definition der Mandelstam-Variablen s und t

Insbesondere gilt:

  $$p^{2} = p \cdot p = E^{2} - \vec{p}^2c^2 = m_{0}^{2}c^{4}$$ (9.2)

oder mit c = 1

  $$p^2 = E^{2} - \vec{p}^2 = m_{0}^{2}$$ (9.3)

(Abb. D.1) Für einen Zweiteilchenprozess $a+b \rightarrow c+d$, z.B.

$$e^+ (p_a) + e^- (p_b) \rightarrow \bar{f}(q_c) + f(q_d)~~~,$$

lässt sich die Kinematik im Anfangs- und Endzustand mit relativistischen Vierervektoren wie folgt beschreiben.

Die Gesamtschwerpunktsenergie berechnet sich aus

$$s = (p_a + p_b)^{2} = (q_c + q_d)^{2}~~~.$$

Dies ist im Schwerpunktsystem leicht zu zeigen, da hier ${\bf p_a} = {\bf -p_b}$ ist. Man erhält mit $E_{b}$ = Strahlenenergie:

$$s = (p_a + p_b)^{2} = 4E_{b}^{2} = E_{CMS}^{2}~~~.$$

Außer der Energie benötigt man zur Beschreibung der Kinematik den Streuwinkel $\Theta_{CMS}$ im Schwerpunktsystem, wobei $\Theta_{CMS}$ der Winkel zwischen $p_{a}$ und $q_{c}$ ist.

Dieser kann berechnet werden aus:

$$t = (q_c - p_a)^{2} = -2E_{b}^{2}(1-\cos\Theta_{CMS})<0~~~.$$

s und t nennt man Mandelstam-Variable.