Die Breit-Wigner-Form

Mit der Breit-Wigner-Form beschreiben wir angeregte Teilchenzustände (Resonanzzustände). Der folgende Vergleich zwischen einem solchen Zustand und dem harmonischen Oszillator soll Ihnen diese Form plausibel machen.

Für den gedämpften harmonischen Oszillator mit der Differentialgleichung

  $$m\ddot x - \beta \dot x + Kx = 0$$ (11.1)

erhält man mit der treibenden Kraft

$$F_0 e^{i\omega t}$$

und dem Ansatz

  $$x = a e^{i(\omega t-\phi)}$$ (11.2)

folgenden Zusammenhang

  $$\left(\frac{a}{F_0}\right)^2 = \frac{1}{m^2}~\frac{1}{\lbrack(\omega-\omega_0) (\omega+\omega_0)\rbrack^2+ \frac{\beta^2\omega^2} {m^2}}$$ (11.3)

und für $\omega \sim \omega_0$

  $$\left(\frac{a}{F_0}\right)^2 \sim \frac{1}{4\omega_0^2m^2} \cdot \frac{1}{(\omega-\omega_0)^2 + \beta^2/4m^2}$$ (11.4)

mit

$$\omega = \sqrt{\frac{K}{m} - \frac{\beta^2}{4m^2}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}}~~~.$$

Setzt man $E = \hbar\omega$ und $E_0 = \hbar\omega_0$, so erhält man die quantenmechanische Entsprechung

  $$\sim \frac{1}{(E-E_0)^2 + \Gamma^2 / 4}$$ (11.5)

mit $\Gamma = \frac{\hbar\beta}{m} =$ Breite der Resonanz. Die Breite einer Resonanz ist von der Anzahl der möglichen Zerfallskanäle abhängig.

Diese Energieabhängigkeit nennt man Breit-Wigner-Kurve. Die Breite der Resonanz hängt über die Heisenbergsche Unschärferelation mit der Lebensdauer zusammen.

$$\Gamma \cdot \tau = \hbar$$

Dieses Energieverhalten in Analogie zum harmonischen Oszillator rechtfertigt die Bezeichnung Resonanz für instabile Teilchen mit definierter invarianter Masse $M$, Breite $\Gamma$ und Lebensdauer $\tau$.

Schon in der nichtrelativistischen Quantenmechanik ist die Energieverteilung eines instabilen Zustandes eine Breit-Wigner-Verteilung obiger Form. Dies kann man direkt einsehen mit folgender Überlegung:

Für instabile Teilchen gilt das Zerfallsgesetz

  $$N(t) = N(0) e^{-\lambda t}~~~.$$ (11.6)

Die Wellenfunktion eines Teilchens in Ruhe ist gegeben als

  $$\psi(t) = \psi(0) e^{-iEt/\hbar}~~~~~~~~~~~~~~~~ \vert\psi(t)\vert^2 = \vert\psi(0)\vert^2~~~,$$ (11.7)

d.h. für E reell zerfällt das Teilchen nicht. Man addiert daher einen kleinen imaginären Anteil zu E

  $$E = E_0 - \frac{1}{2} i \Gamma~~~~~~~mit~~~~~ \Gamma = \lambda \hbar~~~.$$ (11.8)

Die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion eines instabilen Teilchens ist damit gegeben zu:

  $$\psi(t) = \psi(0) e^{-iE_0t / \hbar} e^{-\Gamma t/2 \hbar}$$ (11.9)

Energie ist eine messbare Größe — ist da eine imaginäre Komponente sinnvoll ? Um das herauszufinden, betrachte man die Fouriertransformation $\phi(\omega)$ der Wellenfunktion:

$$\phi(\omega) = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^{+\infty} dt \psi(t) e^{+i \omega t}$$ (11.10)

$$= \frac{\psi(0)}{\sqrt{2\pi}} ~ \frac{i\hbar}{(\hbar \omega - E_0) + i \Gamma / 2}$$ (11.11)

Da $E = \hbar\omega$ ist, erhält man durch Quadrieren und Normierung auf 1 die oben angegebene Breit-Wigner-Form.

$$P(E) = \frac{\Gamma}{2\pi} ~ \frac{1}{(E-E_0)^2 + (\Gamma /2)^2}~~~,$$ (11.12)

d.h. der Imaginärteil in der Energie führt zum Zerfall und bewirkt eine Verbreiterung des Zustandes. Die Breite des Zustandes aufgrund des Zerfalls heißt natürliche Linienbreite. $\Gamma$ ergibt sich als die Breite beim halben Maximum.